Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik

AG Digitale Signalverarbeitung

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Entwurf digitaler Filter

Digitale Filter dienen z.B. der Trennung von Signalnutz- und Störanteilen, dem Finden von typischen Signalen oder dem Ausgleich ungünstiger raumakustischer Eigenschaften.

Die Schwerpunkte dieses Forschungsbereichs liegen auf

Filterentwurf mit Verfahren der nichtlinearen mathematischen Optimierung

Filterentwurf und Optimierung hängen sehr eng miteinander zusammen, da die Approximationsprobleme des Filterentwurfs Optimierungsprobleme sind und mit den Verfahren der Optimierung gelöst werden können und unserer Meinung nach auch gelöst werden sollten. Diese Erkenntnis ist an sich nicht neu, da Filterentwurf mit Verfahren der Optimierung schon in den Sechziger Jahren durchgeführt wurde. Nur gewinnt man beim Lesen der zahlreichen Veröffentlichungen auf der Basis heuristischer Ad-Hoc-Filterentwurfsverfahren den Eindruck, daß diese Erkenntnis bei vielen wohl verlorengegangen ist.

Die Anwendung von Optimierungsverfahren birgt den Schlüssel zur Universalmethode und zum jeweils bestmöglichen Filter in sich und erlaubt auch die Lösung von Approximationsproblemen für die in der Approximationstheorie, hier ist die allgemeine und die spezielle des Filterentwurfs gemeint, entweder kein Verfahren zu finden ist oder aber die Erstellung eines speziellen Verfahrens einen nicht vertretbaren Aufwand erfordert, der insbesondere bei einem speziellen Einsatzgebiet nicht zu rechtfertigen ist. So weiß man schon lange im Filterentwurf, daß bis auf wenige besonders einfach strukturierte Probleme keine Charakterisierungssätze von Lösungen verfügbar sind, die man mit effizienten Algorithmen ausnützen könnte. Und selbst bei einfachst strukturierten Problemen, wie der unrestringierten Approximation im Tschebyscheffschen Sinne (wir sprechen hier meist von Minimax-Approximation) von Gruppenlaufzeiten mit Allpaßfiltern hat z.B. bereits Reibiger 1970 für den Entwurf zeitkontinuierlicher Filter zeigen können, daß Lösungen zwar existieren, nicht aber algorithmisch verwertbar charakterisiert werden können. Hierzu führte er u.a. zwei typische Beispielsentwürfe an, bei denen die Verläufe der Fehlerkurven eine Vielzahl lokaler und globaler Extrema zeigen und weit entfernt von den oft erwünschten Equiripple-Verläufen sind. Nun denke man daran, daß für restringierte Approximation und/oder Simultanapproximationsproblemen (falls Lösungen überhaupt existieren) algorithmisch verwertbare Charakterisierungen von Lösungen auch in Zukunft nicht zu erwarten sind.

Wir möchten dem Filterentwerfer zeigen, wie Optimierungsprobleme beschaffen sind, welche Verfahren zu ihrer Lösung eingesetzt werden können, wie Optimierung und Filterentwurf zusammenhängen und zusammengebracht werden können und mit welcher Optimierungssoftware Filterentwurf durchgeführt werden kann. Wir wollen auch zeigen, daß es für den Filterentwerfer gewissermaßen einen Schatz zu heben gibt, wie ihn die zahllosen Algorithmen und Softwarelösungen der Optimierung darstellen. Wir fokussieren unseren Blick besonders auf Verfahren der nichtlinearen semiinfiniten Optimierung, die im wesentlichen erst in den letzten 10 bis 20 Jahren entstanden sind und deshalb von den Filterentwerfern viel zu wenig wahrgenommen wurden. Mancher Filterentwerfer wird geneigt sein, semiinfinite Optimierung als mathematische Spitzfindigkeit abzutun oder sie als Ergebnis ungebremsten Genauigkeitswahns zu werten. Es ist nicht so, daß die semiinfinite Optimierung nur granulare Verbesserung der Ergebnisse bringt, die mit klassischer Optimierung hinsichtlich der Frequenzbereichsforderungen diskretisierter Entwurfsprobleme zu erreichen ist. Vielmehr erlaubt die semiinfinite Optimierung überhaupt erst den Entwurf optimaler Filter mit großer Koeffizientenanzahl mit Personalcomputern. Mit großer Koeffizientenanzahl meinen wir beispielsweise nichtlinearphasige nichtrekursive Filter mit 500 bis 1000 Koeffizienten.

Wir haben zahlreiche Filter mit Verfahren der nichtlinearen Optimierung entworfen, die von Filtern zur Simulation von Hörschäden, Filtern als Teilsysteme zur Datenreduktion, Entzerrerfiltern für teildigitale Übertragungssysteme bis hin zu Meßfiltern reichen, wenn nur eine Auswahl der Anwendungen von Filtern genannt werden soll.

Ein einziges Verfahren der nichtlinearen semiinfiniten Optimierung, das die Gesamtheit des Filterentwurfs in dieser Arbeit abdeckt, gibt es zum gegenwärtigen Stand nicht, sodaß wir es bevorzugen, zwei Verfahren einzusetzen, nämlich ein Verfahren der konvexen semiinfiniten Optimierung für den Entwurf nichtrekursiver digitaler Filter und ein Verfahren der nichtlinearen semiinfiniten Optimierung für den Entwurf rekursiver digitaler Filter und einiger Spezialprobleme nichtrekursiver Filter, die nicht allzuviele Koeffizienten voraussetzen. Erfreulicherweise findet auch in der Mathematik eine mitunter rasante Entwicklung neuer Konzepte und Verbesserung bestehender Algorithmen statt, was uns dem angegebenen Ziel sukzessive näherbringen kann.

Der wichtigste Gewinn liegt darin, daß Filterentwurf und numerische Problemlösung voneinander getrennt werden können. Vor allem kann der Filterentwerfer dann von der Aufgabe der Konstruktion numerischer Verfahren entlastet werden und diese Arbeit kompetenteren Personen überlassen. Dies ermöglicht ihm, seine Arbeitskraft der Wahl einer für seine spezielle Anwendung besonders geeigneten Filterspezifikation zu widmen, wofür er auch seine besondere Kompetenz einsetzen kann.

Die wesentliche Stärke des optimierungsgestützten Filterentwurfs ist die mit den anderen bekannten Methoden nicht zu erreichende Flexibilität oder Vielfalt an möglichen Filterentwurfsaufgaben. Wir demonstrieren diese Stärke mit den Resultaten bislang erfolgter Arbeiten zum optimierungsgestützten Filterentwurf und einigen hier detailliert ausgearbeiteten numerischen Beispielen, die auch zusätzliche neue Aspekte des Filterentwurfs zeigen.

Das Problem des Erkennens der Lösbarkeit von Filterentwurfsaufgaben wird auf die Seite der Lösbarkeit der zugeordneten Optimierungsprobleme verlagert. Auf dieser Seite dann kann auf den Fundus der von den Mathematikern detailliert angegebenen Optimalitätsbedingungen und bekannten Annahmen zurückgegriffen werden, den die Optimierung im Laufe der Jahre angelegt hat. Wir sehen für diese Verlagerung auch keine andere Möglichkeit, weil die von uns angestrebte hohe Flexibilität hinsichtlich möglicher Filterentwurfsprobleme eine Lösbarkeitsuntersuchung auf der Basis allgemein verfügbarer Überlegungen ausschließt. Außerdem können wir Hilfsmittel in Form weiterer spezieller Optimierungsprobleme vorschlagen, mit denen spezielle Filterentwurfsprobleme im Vorhinein auf Lösbarkeit hin überprüft werden können.

Filterentwurfsprobleme sollen mit den READF-Beschreibungselementen unter Verwendung einer hierfür geeigneten Benutzeroberfläche mit zwei Tableaux für Filterstruktur und Entwurfsziele formuliert werden können, wobei die so formulierten Filterentwurfsprobleme auf korrekte Eingabe und Konsistenz im Sinne des READF überprüft werden. READF (Restriktionsbasierter Entwurf Arbitrarer Digitaler Filter) ist ein Schema zur strukturierten Formulierung von Filterentwurfsproblemen, das auf Filtertypen, Hauptproblemen, Fehlerbewertungen und Restriktionen fußt. Mit einem Übersetzer wird das Filterentwurfsproblem zuerst in ein allgemeines restringiertes Optimierungsproblem mit Parameterungleichungen, Ungleichungen und Gleichungen als Restriktionen übersetzt, um anschließend auf die den speziellen Optimierungsverfahren oder Lösern zugrundeliegenden Optimierungsprobleme angepaßt zu werden. Die Ziel- und Restriktionsfunktionen der Optimierungsprobleme, die im wesentlichen aus Fehlerfunktionen von Approximationen gebildet werden, werden mit den Funktionen aus der Bibliothek zusammengesetzt. Die Auftrennung von allgemeinem und speziellem Optimierungsproblem erlaubt es, mit vergleichsweise geringem Aufwand die numerischen Arbeitsblöcke austauschbar zu verwenden, um so von der fortschreitenden Entwicklung und Verbesserung der Optimierungsverfahren profitieren zu können. Es ist auch wünschenswert, bestimmte Teile des Filterentwurfsproblems parametrisch auszulegen, so z.B. der Filtergrad beim Entwurf im a-priori-Toleranzschema oder die Gruppenlaufzeit beim Entwurf quasilinearphasiger Filter. Eine Rücksprungmöglichkeit und eine Parametersteuerung um den Lösungsblock herum erlauben eine solche Vorgehensweise.

Prozesschema der integrierten Filterentwurfsumgebung

Die Abbildung 1 zeigt die gesamte Umgebung und die Abbildung 2 die Details des Blocks "Löser" innerhalb der gesamten Umgebung.
Abbildung1
Abbildung2

Im einzelnen hat die Filterentwurfsumgebung die Bestandteile:

Der Löser enthält vier numerische Arbeitsblöcke und sechs Abfrageblöcke, um die Optimierungsprobleme den jeweilig benötigten numerischen Arbeitsblöcken zuzuführen. Die numerischen Arbeitsblöcke werden mit den Strukturangaben der Optimierungsprobleme und den charakteristischen Funktionen aus der Bibliothek gespeist. Im einzelnen sind nachstehende numerischen Arbeitsblöcke vorhanden:

Neben den numerischen Arbeitsblöcken enthält der Löser auch Abfrageblöcke, die nun aufgelistet werden:

Bestandteile des Lösers in der integrierten Filterentwurfsumgebung

Innerhalb des Lösers sind sechs Pfade möglich, mit denen unterschiedliche Problemtypen jeweils günstig gelöst werden können. Diese Pfade sind

Ziele der Forschung

Die Forschungsarbeit ist recht umfangreich und umfaßt im wesentlichen die Bearbeitung von grundlegenden theoretischen Fragestellungen des Filterentwurfs, Techniken des Filterentwurfs zur Behandlung parametrisierter Filterentwurfsprobleme, Strategien zur a-priori- Feststellung der Lösbarkeit restringierter Filterentwurfsprobleme und Entwicklung von Konzepten der Softwarerealisierung integrierter Filterentwurfsumgebungen unter der Verwendung von Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Eine Auswahl von Punkten sind:

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